Cours sur les fractales



FRACTALES

1. Topologie fractale

1.1. Ensemble de Cantor

1.2. Espace métrique des fractales

2. Images fractales

2.1. Ensemble de Mandelbrot

2.2. Ensembles de Julia

2.3. Ensembles de Newton

Les fractals sont des figures invariantes par changement d'échelle (nous parlons aussi de "structures autosimilaires") et sont la représentation graphique de suites récurrentes.

L'idée de base consiste souvent à prendre un point de départ, de construire son image via une fonction mathématique donnée, de prendre l'image de l'image et ainsi de suite. Le but étant d'étudier comment se répartissent les points successifs dans l'ensemble global, s'ils s'approchent d'une limite ou s'ils errent entre diverses valeurs que nous pouvons expliciter, s'il y a plus de points dans telle partie de l'ensemble que dans telle autre?

L'intérêt de ce type de questions concerne aussi bien l'étude de l'évolution de populations biologiques que celle de l'avenir du système solaire ou la génération de nombre aléatoires dans des domaines particuliers.

Pour le commun des mortels, les fractals servent à faire joli. Mais ils ont des applications plus sérieuses : nous avons vu par exemple sur le présent site web que certaines de ces "séduisantes" images reproduisaient des phénomènes physiques (dynamique des populations pour le fractal de Feigenbaum, turbulences dans un fluide pour l'attracteur de Lorentz, dispositions des galaxies, L-Fractals, amas et super-amas de galaxies,...). Les fractals ont également trouvé des applications en musique (avec des logiciels générant de la musique fractale). Enfin, dans le domaine de l'infographie, les fractals permettent de compresser très efficacement les images, avec une qualité constante quel que soit le zoom, ils permettent de créer des textures réalistes, et peuvent permettre de tramer une image avec de bons résultats. Dans le génie civil les fractales sont utilisés pour la construction de certains murs absorbeurs de son. Et bien d'autres choses encore...

Cette géométrie fractale se différencie de la géométrie euclidienne par leur définition d'une part : les figures de la géométrie euclidienne sont en général déterminées par des relations algébriques, alors que les courbes fractales sont définies de façon récursive comme nous l'avons déjà mentionné. Les fractales ont aussi des dimensions fractionnaires comme nous le démontrerons (nous en avons déjà vu un petit exemple en géométrie euclidienne lors de la définition du concept de dimension). D'autre part, il ne faut pas non plus négliger leur aspect autosemblable : chaque partie d'un fractal peut être observé à n'importe quelle échelle : chaque partie est (sensiblement) une copie de l'ensemble.

Remarque: Les développements qui vont suivre auraient très bien pu être mis dans le chapitre de Suites Et Séries ou encore d'Analyse Fonctionnelle ou encore comme un cas particulier du chapitre de Topologie réduit à l'espace euclidien (c'est la raison pour laquelle vous y trouverez par ailleurs de nombreuses références). Notre choix se veut pédagogique au même titre que le chapitre de Cryptographie, dans le sens qu'il est beaucoup plus intéressant pour un étudiant d'une petite classe de voir une application des concepts abstraits de la topologie dans un cadre pratique (et par ailleurs esthétique) où ils sont absolument nécessaires à la bonne compréhension du sujet plutôt que dans un cadre où l'on peut très bien s'y soustraire sans avoir à trop en souffrir. Le lecteur retrouvera ici certains développements et théorèmes proposés ailleurs sur le site ceci dans le but de lui éviter à avoir trop à "tourner les pages".

TOPOLOGIE FRACTALE

Remarque: La dénomination "topologie fractale" est une invention fantaisiste de notre part car les développements qui vont suivre ne s'appliquent, comme vous l'aurez compris relativement à la remarque précédente, de loin pas qu'aux fractales.

Les objets fractals naturels sont dits "objets non-déterministes", car le processus dynamique qui permet leur création varie lui-même avec le temps de façon aléatoire (voir le chapite de Dynamique des populations pour un excellent exemple). Nous pouvons néanmoins essayer de modéliser des systèmes dynamiques permettant d'aboutir à des objets fractals, sous la forme suivante :

Nous nous donnons un objet géométrique initial equation de l'espace E, une fonction f de E dans E telle que equation, et nous créons le système dynamique discret défini par :

 

equation   (1)

Sous certaines conditions que nous allons de suite voir, la suite d'objets géométriques equation"tend" vers une limite, qui est souvent un objet fractal (nous en verrons par ailleurs quelques exemples).

Naturellement, il existe un cadre mathématique rigoureux dans lequel les conditions évoquées et le verbe "tendre" a une définition précise. En particulier, les objets equationsont tous des compacts de E, c'est à dire des sous-ensembles bornés (que nous pouvons inclure dans un segment si E est une droite, un disque si E est un plan ou une boule si E est l'espace à trois dimensions) et fermés (toute suite convergente de equation a sa limite dans E). Nous nous plaçons alors dans l'espace métrique des compacts, muni de la distance de Hausdorff, dont nous allons montrer qu'il est complet lorsqu'il s'agit de compacts du plan et de l'espace, et nous vérifierons que f est un "opérateur de Hutchinson", c'est à dire une application contractante de l'espace des compacts dans lui-même pour cette distance. Il ne restera alors plus qu'à appliquer le théorème du point fixe.

Des systèmes dynamiques de ce type sont dits déterministes, et appelés IFS (deteministic iterated function systems). Précisons que la limite de l'IFS s'appelle "l'attracteur de l'IFS". Nous pouvons montrer que sous les conditions évoquées plus haut, cet attracteur ne dépend pas de la forme de l'objet géométrique initial.

Dans un premier temps nous nous limiterons notre étude à equation (le cas général étant donné dans le chapitre de Topologie du site) sachant de toute façon qu'une généralisation à l'espace euclidien de dimension deux ne nécessite par un travail intellectuel trop grand et que l'ensemble des complexes y est isomorphe.

Définition: Pour nous permettre de définir les frontières de nos fonctions fractales considéronsequation. Nous disons que equation est le "supremum" de X et nous notons :

equation   (2)

si equation est le plus petit des "majorants" de X (un majorant de X est un nombre a qui vérifie equation). De la même façon, nous disons que equation est "l'infimum" de X et nous notons :

equation   (3)

si equation est le plus grand des "minorants" de X (un minorant de X est un nombre a qui vérifie equation). Il existe des sous-ensembles de equation qui n'ont pas de supremum (respectivement d'infimum) par exemple equation ( respectivementequation).

Remarque: Nous utilisons souvent la caractérisation suivante du sup :

equation   (4)

si et seulement si :

equation   (5)

ce qui est évident car nous pouvons nous s'approcher aussi près que l'on veut de equation par des éléments de X (penser à equation petit). Pour l'information nous avons alors aussi dans la même idée:

equation   (6)

si et seulement si :

equation   (7)

Nous considérerons comme inuitif que si equation est majoré, c'est-à-dire s'il existe equation tel que equation (respectivement minoré), alors X possède un supremum (respetivement un infimum).

Nous verrons plus tard que c'est cette propriété qui permettra de montrer que equation est un "espace métrique complet"!

Remarque: En passant, nous remarquerons que le théorème précédent n'est pas vérifié dans l'ensemble equation des nombres rationnels. En effet l'ensemble:

equation   (8)

est majoré mais n'a pas de supremum dans equation car ce supremum se situe dans equation puisque:

equation   (9)

donc:

equation   (10)

C'est ce qui fait que equation n'est pas "complet".

Définition: Nous disons que equation est "borné" si X est majoré et minoré.

De la définition suit immédiatement que X est borné si et seulement s'il existe equation avec equation tels que equation.

Définition: Nous disons qu'une suite equationde equation est une "suite croissante" (resp. "décroissante") si :

equation (resp. equation)   (11)

Nous disons que la suite equation est "monotone" si elle est croissante ou décroissante.

Définition: Soit equation un sous-ensemble infini de equation avec equation . Nous disons que la suite equation est une "sous-suite" de la suite equation.

Montrons maintenant que toute suite equation de equation admet une sous-suite monotone (c'est un peu l'idée de fractale!).

Démonstration:

Nous disons que equation est un "pic de la suite" si equation. Considérons l'ensemble P des pics de la suite equation. Si P est infini alors la sous-suite equation est monotone car décroissante. Si P est fini ou vide alors soit equation (si equation nous choisissons equation quelconque). equation n'est pas un pic, donc il existe equation tel que equation. A son tour equation n'est pas un pic, donc il existe equation tel que equation etc. Nous voyons que nous définissons ainsi une sous-suite croissante.

equationC.Q.F.D.

Définition: Nous disons que la suite equation "converge" vers equation et nous notons equation si :

equation   (12)

Nous disons dans ce cas que a est la "limite de la suite" equation.

Par exemple dans l'exemple de la figure ci-dessous où la suite sembler converge vers 1.13 nous observons que pour un equation positif non nul particuler donné il existe un n (valant 17) à partir de laquelle la suite converge.

equation
  (13)

S'il n'existe pas de a pour lequel la relation précédente est vraie, nous disons que la suite "diverge".

Démontrons maintenant que Toute suite equationcroissante (resp. décroissante) et majorée (resp. minorée) converge.

Remarque: Si elle ne convergeait pas nous pourrions difficilement savoir quelle est son minorant et son majorant... d'où le fait que la nécessité du théorème devient triviale.

Démonstration:

Ce théorème est au fait assez intuitif. En effet nous nous doutons que equation est la limite de cette suite. Remarquons tout d'abord que equation existe car equation est majorée (cf. premier théorème).

Soit equation. Il existe un equation tel que equation. Mais dans ce cas vu que la suite est croissante nous avons equation. C'est-à-dire equation. Dans le cas où la suite est décroissante en procédant de la même façon nous montrons que equation est la limite de cette suite.

equationC.Q.F.D.

Voici le résultat important à retenir suite à tout cela : Toute suite bornée de nombres réels possède une sous-suite convergente.

C'est que les mathématiciens appelente le "théorème de Bolzano-Weierstrass" et il est extrêmement important dans de nombreux domaines des mathématiques.

Démonstration:

Soit equationune telle suite. Par une proposition précédente nous savons qu'il existe une sous-suite monotone que nous noterons equation. equation est donc une suite monotone et bornée et par le théorème précédant, equation converge.

equationC.Q.F.D.

Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Suites et Séries qu'une suite de Cauchy, est une suite equation qui vérifie (nous nous restreignons à un rappel particulier sur la distance euclidienne) :

equation   (14)

La différence entre deux termes d'une suite de Cauchy peut être rendue arbitrairement petite pourvu que les indices de ces termes soient assez grands.

Nous avions aussi démontré (à nouveau dans le chapitre de Suites Et Séries) que dans le cas d'une distance dans le sens topologique général que toute suite convergente est une suite de Cauchy.

Refaisons la démonstration restreinte à la distance euclidienne (la méthode est exactement la même comme le lecteur pourra le remarquer) :

Démonstration:

Soit equation, nous devons montrer qu'il existe :

equation   (15)

Mais equation tend vers a donc il existe equation tel que equation. Pour equation nous avons donc :

equation   (16)

equationC.Q.F.D.

Montrons maintenant que toute suite de Cauchy est bornée (nous n'en avions pas parlé jusque là où que ce soit sur le site d'où la nécessité d'une démonstration).

Démonstration:

Si equation est une suite de Cauchy alors en particulier pour equation (choisi au hasard) nous savons qu'il existe equation tel que equation. Donc si nous fixons m nous obtenons :

equation   (17)

equationC.Q.F.D.

Voici à présent le théorème fondamental (c'est à ce niveau qu'il y a un impact énorme sur la compréhension de ce qu'est réellement un fractal !) de ces quelques lignes précédentes.

Nous devons démontrer que toute suite de Cauchy de nombres réels est convergente. Nous disons alors que l'espace métrique equation muni de la distance equation (valeur de absolue) est un "espace complet".

Remarques:

R1. La propriété de complétude est liée à la métrique (dont ce théorème aurait tout aussi bien sa place dans le chapitre de topologie!): un espace peut être complet pour une distance et incomplet pour une autre. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet.

R2. Intuitivement, un espace est complet s'il n'a pas de trous.

Considérons d'abord equation une suite de Cauchy. Nous avons vu que equation est bornée donc par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite equation convergente. Notons a la limite de la sous-suite equation. Nous allons montrer maintenant que la suite equation est convergente de limite a.

Démonstration:

Soit equation, il existe equation tel que :

equation   (18)

Pour ce même equation il existe equation tel que :

equation   (19)

Soit equation. Choisissons equation. Nous avons donc, equation et pour equation, equation. Donc par l'inégalité triangulaire, pour tout equation :

equation   (20)

Ce qui veut justement dire que equation converge vers a.

equationC.Q.F.D.

Définition (intuitive): Un "point adhérent" est un point pour lequel nous pouvons nous approcher autant que nous voulons à l'aide d'éléments d'un ensemble X donné (nous nous en approcherons par exemple avec une suite). Cependant, ce point adhérent peut aussi bien être à l'intérieur qu'à l'extérieur de X (tous les points à l'intérieur de X sont bien évidemment des points adhérents). Un bonne image est de voir une suite qui se rapproche de ce point adhérent et de définir des cercles autour ce celui-ci qui deviennent de plus en plus petits contenant des éléments de la suite. Dès lors, vient la définition suivante :

Définition (formelle): Soit equation. Nous disons que equation est un "point adhérant" à X si pour toute boule B(x,r) de rayon r centrée en x nous avons :

equation   (21)

L'ensemble des points adhérents à X est "l'adhérence" de X et est noté equation. Nous avons évidemment (il suffit de se le conceptualiser de manière abstraite pour toutes les boules possibles) equation et nous admettrons comme évident que equation.

exempleExemple:

Prenons l'intervalle ]0,1] avec la boule B(0,1). L'intersection entre la boule et l'intervalle est non nulle, nous pouvons alors dire que 0 est adhérent ! Mais maintenant prenons une suite 1/n par exemple, dans l'intervalle ]0,1]. Cette suite tend vers zéro mais pourtant 0 n'appartient pas l'intervalle. Nous pouvons faire dès lors la proposition suivante

Montrons maintenant que equation est adhérent à X si et seulement si il existe une suite equation dans X qui converge vers x (attention, l'exemple précédent nous montre que x n'est pas nécessairement dans X).

Démonstration:

Si equation est adhérent à X alors considérons la suite des boules concentriques equation avec equation tel que :

equation   (22)

et alors il existe toujours des éléments equation une qui satisfont :

equation   (23)

avec lesquels nous pouvons créer une suite par l'infinité des suites existantes.

Définition: Nous disons que equation est un "espace fermé" si equation.

Des propositions précédentes découle le fait que dans tout fermé F, une suiteequation qui converge a sa limite dans F.

Nous considérerons comme trivial que si equation une famille de fermés indexée sur un ensemble I quelconque. Alors equation est fermé.

Définition: equation est un "espace compact" si X est fermé et borné.

Le théorème suivant donne une caractérisation des compacts à partir des suites: equation est compact si et seulement si toute suite equation de X possède une sous-suite qui converge dans X.

Démonstration:

Si X est compact et equation est une suite de X alors par le théorème de Bolzano-Weierstrass, equation possède une sous-suite convergente de limite equation. Mais puisque X est fermé, nous avons equation. Réciproquement, supposons que toute suite equation de X possède une sous-suite qui converge dans X. Alors X est fermé car si equation il existe une suite equation de X qui tend vers x. Par hypothèse, equation possède une sous-suite qui converge vers equation. equation étant convergente toute les sous-suites convergent vers la même valeur, donc equation (c'est pas beau ça ?!!). Ainsi equation c'est-à-dire X est fermé. Montrons que X est borné. Supposons le contraire. Il existe donc une suite equation de X telle que equation. Mais dans ce cas, aucune sous-suite de equation est convergente, ce qui est une contradiction. Donc X est borné. En conclusion, X est compact.

Une propriétés des compacts est que si nous considérons equation une suite décroissante de compacts non-vides. C'est-à-dire equation. Alors equation est un compact non-vide. Nous nous passerons de la démonstration qui est triviale de par la définition du concept d'ensemble d'adhérence qui oblige qu'un compact soit par construction non vide... !

exempleExemple:

Nous obtenons l'ensemble C de Cantor de la manière suivante. Nous commençons par considérer l'intervalle fermé bornéequation de equation. Nous partageons equation en trois parties égales et nous enlevons l'intervalle du milieu. Nous obtenons ainsi l'ensemble :

equation   (24)

Nous recommencons avec les deux intervalles equation pour obtenir :

equation   (25)

réunion disjointe de quatre intervalles. Et de suite nous obtenons une suite décroissante equation de compacts. Nous définissons :

equation   (26)

Grâce à la proposition précédente, nous savons que C est non vide et qu'il est compact ce qui montre que les compacts ne sont pas tous "triviaux" comme des intervalles. L'ensemble de Cantor est un exemple de fractale (de compact) :

equation
  (27)

Regardons pour finir comment se comportent les compacts vis-à-vis des applications continues (nous en avons besoin pour montrer comment déterminer la distance d'un point à un ensemble ce qui nous sera indispensable après pour déterminer les propriétés de la distance de Hausdorff).

Nous rappelons (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle) qu'une application equationequation est quelconque, est continue en un point equationsi :

equation   (28)

Ce qui traduit le fait que pour y assez proche de x, f(y) est arbitrairement proche de f(x). Nous disons aussi que f est continue sur X si elle est continue en tout point de X.

Proposition : Soit equation une application continue en equation et equation une suite de X avec :

equation   (29)

Alors la suite equation converge et (cette proposition est très importante!) :

equation   (30)

Démonstration:

Soit equation. f est continue en x, donc il existe equation tel que :

equation   (31)

equation tend vers x donc il existe equation tel que :

equation   (32)

Par suite pour equation, nous avons :

equation   (33)

equationC.Q.F.D.

Si nous considérons maintenantequation un compact et equation une application continue. f(X) est compact. En particulier sup( f ) et inf( f ) sont atteints.

Démonstration:

f(X) est fermé. En effet, soit equation une suite qui tend vers equation (nous prenons l'adhérence au fait pour espérer montrer qu'il est égal à l'ensemble lui-même) alors X étant compact, equation possède une sous-suite equationconvergente.

Posons :

equation   (34)

f est continue, donc :

equation   (35)

Mais comme :

equation   (36)

nous avons equation. Ceci prouve que :

equation   (37)

et donc que f(X) est fermé. Il reste à montrer que f(X) est borné. Supposons le contraire. Il existe donc une suite equation telle que :

equation   (38)

pour tout n entier naturel (puisque justement elle est supposée non bornée). Soit equation une sous-suite convergente de equation avec :

equation   (39)

Alors :

equation   (40)

et par suite :

equation   (41)

mais ceci est en contradiction avec :

equation   (42)

Donc f(X) est borné. Donc f(X) étant fermé et borné il est compact.

equationC.Q.F.D.

Appliquons maintenant cela (car c'est ce qui nous intéresse dans le cadre des espaces fractals) au calcul de la distance d'un point à un ensemble : Soit equation. L'application equation définie par f(y)=d(x, y) est continue.

Démonstration:

Pour tout equation, l'inégalité triangulaire nous donne :

equation   (43)

En changeant les rôles de y,z nous obtenons :

equation   (44)

et donc :

equation   (45)

Ainsi pour equation donné equation implique :

equation   (46)

c'est-à-dire :

equation   (47)

et f est continue en y.

equationC.Q.F.D.

Définition: Pour equation et equation nous définissons la distance de x à A comme étant la valeur :

equation   (48)

Si equation alors equation (trivial). La réciproque n'est pas vraie. En effet dans le cas equation nous avons bien equation mais equation. Nous avons donc la proposition (importante!) :

equation   (49)

Démonstration:

equation entraîne l'existence d'une suite equation d'éléments de A telle que :

equation   (50)

ce qui veut dire :

equation   (51)

donc equation (voir développements plus hauts).

Réciproquement, si equation alors pour tout equation il existe equation tel que equation. Mais equation. Ainsi pour tout equation, equation. C'est-à-dire :

equation   (52)

equationC.Q.F.D.

En général la distance de x à A n'est pas atteinte. C'est-à-dire qu'il n'existe pas de equation tel que equation il suffit pour cela de considérer l'exemple equation nous avons equation mais pour tout equation, equation. Si A est compact, la situation est bien évidemment différente selon la proposition (la plus important pour la distance de Hausdorff) suivante :

Si equation est compact, il existe equation tel que equation. Ainsi :

equation   (53)

Démonstration:

L'application equation définie par equation est continue comme déjà montré. Par conséquent f(A) est compact (cf. une proposition précédente). Ainsi, f atteint ses bornes, c'est-à-dire, il existe equation tel que f(a)=inf( f(A) ). Donc :

equation   (54)

equationC.Q.F.D.

Remarque: La proposition précédente ne dit pas que a est unique, d'ailleurs en général, il en existe plusieurs.

ESPACE MÉTRIQUE DES FRACTALES

Les fractales sont souvent perçus par les gens comme de jolis dessins sur une feuille, mais lorsque nous voulons regarder en détail la géométrie fractale, nous avons besoin d'un espace particulier où l'étudier, un peu comme le biologiste qui met des petits vers sur une plaquette pour les observer en détail au microscope. Nous allons faire de même pour nos fractales en les plaçant dans un endroit qu'ils apprécient.

Cet endroit a de fortes chances d'être un sous-espace de equation ou equation, puisqu'en fin de compte il s'agira de produire des dessins, et pour illustrer nos propos nous nous placerons souvent dans le cas equation (avec le métrique euclidienne) et sauf mention du contraire, nous considérerons toujours le cas où equation est un espace métrique complet.

Rassemblons différentes éléments afin de pouvoir construire cet espace :

Définition: Nous définissons equation comme l'espace dont les points sont les sous-ensembles compacts de X, autres que l'ensemble. Désormais nous appellerons "fractale" n'importe quel élément de equation.

exempleExemple:

Il est immédiat que si equation, alors equation, mais equation n'est pas forcément dans equation. Il suffit de voir l'exemple avec les deux ensembles compacts (fermés, bornés donc) ci-dessous de equation. Ce sont donc deux points de equation. Leur réunion est encore un ensemble compact, et donc :

equation   (55)

Par contre, si les ensembles sont disjoints (comme ici), equation et par conséquent n'est pas un point de equation (voir la théorie précédente).

equation
Source: IFS et L-Système, V. Rezzonico, C. Hebeisen   (56)

Définition: Soit equation et equation, nous définissons la distance d'un point x à l'ensemble B, et nous la notons d(x,B) comme étant :

equation   (57)

Remarques:

R1. Cette définition est tout à fait générale et s'applique à n'importe quel sous-ensemble non vide de X, en remplaçant min par inf. Mais dans le cas particulier, nous somme intéressés à prendre précisément equation comme sous-espace.

R2. Cette distance est bien définie (elle existe) du fait que B est non-vide et compact.

R3. Il est trivial de voir que si cette distance est nulle, alors equation.

exempleExemple:

Illustration dans le cas où equation

equation
Source: IFS et L-Système, V. Rezzonico, C. Hebeisen   (58)

Définition: Soient equation. Nous définissons la distance de A à B et nous la notons equation comme étant :

equation   (59)

Remarques:

R1. Comme avant, cette définition a un sens, et en particulier il existe deux points equation tel que equation.

R2. Nous constatons que cette distance ne fournit pas de métrique equation : en effet, equation en général (prendre par exemple le cas où equation avec equation, nous aurons alors d(A,B)=0 mais equation).

Définition: Soient equation. Nous définissons la "distance de Hausdorff" entre deux ensembles equation, et nous la notons equation, comme étant :

equation   (60)

Cette fois ci, de par cette dernière définition, nous avons bien une métrique sur equation. En effet, vérifions que les 5 propriétés d'une distance soient vérifiées (cf. chapitre de Topologie) : soit equation. Clairement nous avons sans démonstration (symétrie, nullité sur la diagonale et séparation) :

equation   (61)

De plus, comme A et B sont compacts, equation (cf. une des propositions précédentes) pour un certain equation et un certain equation. Or, puisque equation par définition nous avons (propriété positivité) et finalement equation tel que equation:

equation   (62)

puisque B est fermé.

Enfin, puisque equation (cf. extension d'une des propositions précédentes), l'inégalité triangulaire est alors forcément respectée et alors :

equation   (63)

Donc h est bien une métrique sur equation, ce qui fait de equation un espace métrique. C'est déjà un premier pas dans la direction souhaitée : nous avons désormais les moyens de comparer deux ensembles appartenant à equation par la distance de Hausdorff qui les sépare. Si les deux ne sont pas "trop différents", alors intuitivement cette distance devrait être assez petite.

IMAGES FRACTALES

Plusieurs méthodes ont été proposées pour construire des images fractales, nous nous intéresserons aux méthodes dites "méthodes d'échappement" :

On se place dans le plan complexe formé des points M de coordonnées (x, y) d'affixe equation où i représente le nombre complexe tel que equation.

On considère une suite complexe définie par equation et equation, f étant une fonction continue complexe. On suppose que f à un point fixe equation, c'est-à-dire qu'il existe equation tel que equation (il s'agit du "théorème du point fixe" démontré dans la section d'algèbre du site au chapitre sur les suites et séries). Sous certaines conditions sur f et sur equation, on constate que la suite des points ne divergent pas. Cette méthode est à la base de la construction des ensembles de Mandelbrot et de Julia.

Construire une image fractale à partir d'un ensemble de suites ainsi définies, revient à étudier pour chaque couple (x, y) du plan le comportement de la suite. On associe alors une couleur à chaque suite (c'est-à-dire à chaque couple (x, y)) représentant la "rapidité" de divergence de la suite.

Pour étudier la convergence d'une suite, on regarde ses n premiers éléments, si on détecte que les conditions de divergence sont vérifiées alors on peut dire que cette suite diverge, sinon, cette suite est potentiellement convergente. On remarque que plus n est grand plus les résultats seront précis (mais plus le temps de calcul sera grand).

L'algorithme de base est le suivant:

Fractal=proc(x,y)

            z:= valeur de z0;
            j:=nombre max itérations

            Tant que condition_de_divergence non vérifiée(z) et j non atteint faire
                        z:=formule_iteration(z)
                        changer de couleur;
            Fin Tant que
            Renvoyer couleur finale

Fin Fractal

ENSEMBLE DE MANDELBROT

On construit l'ensemble de Mandelbrot grâce à des itérations dans le plan complexe. La fonction est de la forme:

equation   (64)

c est un paramètre constant tel que equation. Le premier terme de la suite est nul. On a donc la suite U définie par:

equation et equation   (65)

Pourquoi commence-t-on avec equation?: Car zéro est le point critique de equation, c'est-à-dire le point qui satisfait à l'extremum:

equation   (66)

Pour chaque point d'affixe x+iy du plan, on étudie la suite U pour equation. Si la suite diverge, on dit que le point testé n'appartient pas à l'ensemble M, si la suite converge, on dit que le point appartient à M.

Pour reproduire l'ensemble de Mandelbrot, on associe à c des valeurs du plan complexe. On considère généralement la portion du plan complexe ayant comme partie réelle, les valeurs entre -2.5 et 1.5 et comme partie imaginaire, les valeurs entre -1.5 et 1.5. Cette portion du plan complexe est subdivisée de façon à former une grille dont les éléments seront associés à des valeurs de C. Pour chaque valeur de C, on obtient une suite dont les modules peuvent converger ou diverger. En pratique, on considère que la suite des modules converge si les 30 premiers modules sont inférieurs à 2. Lorsque la suite des modules converge, on colorie en noir le point de la grille. Après avoir considéré tous les points de la grille, on obtient un ensemble de points noircis: "l'ensemble de Mandelbrot" noté M. Ce qui constitue un résultat remarquablement curieux!

equation
  (67)

La liste des equation générés par l'itération s'appelle "l'orbite" de equation.

On peut colorer les points à l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot en utilisant des couleurs qui dépendent du nombre de termes calculés avant d'obtenir un module supérieur ou égal à 2. Les points d'une même couleur peuvent être interprétés comme étant des points s'éloignant à la même vitesse de l'ensemble de Mandelbrot.

On peut aussi faire une incursion dans l'ensemble de Mandelbrot en utilisant MapleV (disponible habituellement au collège). Il suffit de copier le programme ci-dessous sur une feuille de travail du logiciel et d'indiquer à la place de -2 .. 1, -1.5 .. 1.5 de la dernière ligne, l'étendue des parties réelles et imaginaires de c que l'on désire visualiser:

restart: with(plots):
couleur:=proc(a,b)
local x,y,xi,yi,n;
x:=a;
y:=b;
for n from 0 to 30 while evalf(x^2+y^2) < 4 do;
   xi:=evalf(x^2-y^2+a);
   yi:=evalf(2*x*y+b);
   x:=xi;
   y:=yi;
od;
n
end:

plot3d(0,-2..1,-1.5..1.5,orientation=[-90,0],style=patchnogrid, scaling=constrained,axes=framed,numpoints=20000,color=couleur);

Vous obtiendrez dès lors le résultat ci-dessous:

equation
  (68)

Pour information, le domaine de l'analyse complexe qui étudie des systèmes dynamiques s'intéressant principalement à l'étude d'itération d'applications holomorphes (cf. chapitre d'Analyse Complexe) se nomme la "dynamique holomorphe".

ENSEMBLES DE JULIA

L'ensemble de Julia se construit presque de la même façon que l'ensemble de Mandelbrot. Dans l'ensemble de Mandelbrot, c balaye le plan. Pour l'ensemble de Julia, c est fixé pendant tout le calcul de l'image. A chaque c correspond donc un ensemble particulier que l'on notera J(c). Ce qui varie, c'est equation, qui prend la valeur du point à tester. C'est donc equation qui balaie le plan.

Le point A de coordonnées (x, y) et d'affixe x+iy  appartient à J(c) si et seulement si la suite définie par:

equation et equation   (69)

converge.

En fait, l'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des points c tels que l'ensemble de Julia de paramètre c soit connexe. Si à nouveau on développe l'algorithme, on obtient à un facteur d'échelle près donné, le fractal représenté ci-dessous obentu grâche au petit programme Maple V ci-dessous similaire à celui de Mandelbrot :

restart; with(plots):
julia := proc(c,x, y)local z, m;
z := evalf(x+y*I);
for m from 0 to 30 while abs(z) < 3 do
   z := z^2 + c
   od;
   m
end:

J := proc(d)
global phonyvar;
phonyvar := d;
(x, y) -> julia(phonyvar, x, y)
end:

plot3d(0, -2 .. 2, -1.3 ..1.3, style=patchnogrid,orientation=[-90,0], grid=[270, 270],scaling=constrained, color=J(-1.25));

equation
  (70)

ENSEMBLES DE NEWTON

Les ensembles de Newton sont ainsi appelés car ils découlent de la résolution de problème de la recherche des zéros d'une fonction par la méthode de Newton.

Soit une fonction f à valeur dans equation, et dérivable dans equation, on prend equation dans equation tel que:

equation   (71)

Il y a alors deux manières de procéder:

1. Soit nous nous intéressons à equation et alors nous faisons comme précédemment

2. Soit nous nous demandons vers quel zéro equation la suite converge et nous nous intéressons à equation

Si à nouveau nous développons l'algorithme, nous obtenons à un facteur d'échelle près donné, le fractal représenté ci-dessous obtenu à nouveau avec Maple :

restart:
newton := proc(x, y)
local z, m;
z := evalf(x+y*I);
for m from 0 to 50 while abs(z^3-1) >= 0.001 do
z := z - (z^3-1)/(3*z^2)
od;
m
end:

plot3d(0, -2 .. 2, -1.5 .. 1.5, orientation=[-90,0],grid=[250, 250], style=patchnogrid, scaling=constrained,color=newton);

equation
  (72)