Cours sur les fractales
1. Topologie fractale
1.1. Ensemble de Cantor
1.2. Espace métrique des fractales
2. Images fractales
2.1. Ensemble de Mandelbrot
2.2. Ensembles de Julia
2.3. Ensembles de Newton
Les fractals sont des figures invariantes par changement d'échelle (nous parlons aussi de "structures autosimilaires") et sont la représentation graphique de suites récurrentes.
L'idée de base consiste souvent à prendre un point de départ, de construire son image via une fonction mathématique donnée, de prendre l'image de l'image et ainsi de suite. Le but étant d'étudier comment se répartissent les points successifs dans l'ensemble global, s'ils s'approchent d'une limite ou s'ils errent entre diverses valeurs que nous pouvons expliciter, s'il y a plus de points dans telle partie de l'ensemble que dans telle autre?
L'intérêt de ce type de questions concerne aussi bien l'étude de l'évolution de populations biologiques que celle de l'avenir du système solaire ou la génération de nombre aléatoires dans des domaines particuliers.
Pour le commun des mortels, les fractals servent à faire joli. Mais ils ont des applications plus sérieuses : nous avons vu par exemple sur le présent site web que certaines de ces "séduisantes" images reproduisaient des phénomènes physiques (dynamique des populations pour le fractal de Feigenbaum, turbulences dans un fluide pour l'attracteur de Lorentz, dispositions des galaxies, L-Fractals, amas et super-amas de galaxies,...). Les fractals ont également trouvé des applications en musique (avec des logiciels générant de la musique fractale). Enfin, dans le domaine de l'infographie, les fractals permettent de compresser très efficacement les images, avec une qualité constante quel que soit le zoom, ils permettent de créer des textures réalistes, et peuvent permettre de tramer une image avec de bons résultats. Dans le génie civil les fractales sont utilisés pour la construction de certains murs absorbeurs de son. Et bien d'autres choses encore...
Cette géométrie fractale se différencie de la géométrie euclidienne par leur définition d'une part : les figures de la géométrie euclidienne sont en général déterminées par des relations algébriques, alors que les courbes fractales sont définies de façon récursive comme nous l'avons déjà mentionné. Les fractales ont aussi des dimensions fractionnaires comme nous le démontrerons (nous en avons déjà vu un petit exemple en géométrie euclidienne lors de la définition du concept de dimension). D'autre part, il ne faut pas non plus négliger leur aspect autosemblable : chaque partie d'un fractal peut être observé à n'importe quelle échelle : chaque partie est (sensiblement) une copie de l'ensemble.
TOPOLOGIE FRACTALE
Les objets fractals naturels sont dits "objets non-déterministes", car le processus dynamique qui permet leur création varie lui-même avec le temps de façon aléatoire (voir le chapite de Dynamique des populations pour un excellent exemple). Nous pouvons néanmoins essayer de modéliser des systèmes dynamiques permettant d'aboutir à des objets fractals, sous la forme suivante :
Nous nous donnons un objet
géométrique initial
de l'espace E, une fonction f de E dans E
telle que
,
et nous créons le système dynamique discret défini
par :
(1)
Sous certaines conditions
que nous allons de suite voir, la suite d'objets géométriques
"tend"
vers une limite, qui est souvent un objet fractal (nous en verrons
par ailleurs quelques exemples).
Naturellement, il existe
un cadre mathématique rigoureux dans lequel les conditions
évoquées et le verbe "tendre" a une définition
précise. En particulier, les objets sont
tous des compacts de E, c'est à dire des sous-ensembles
bornés (que nous pouvons inclure dans un segment si
E est une droite, un disque si E est un plan
ou une boule si E est l'espace à trois dimensions)
et fermés (toute suite convergente de
a sa limite dans E). Nous nous plaçons alors dans
l'espace métrique des compacts, muni de la distance de
Hausdorff, dont nous allons montrer qu'il est complet lorsqu'il
s'agit de compacts
du plan et de l'espace, et nous vérifierons que f est
un "opérateur de Hutchinson", c'est à dire
une application contractante de l'espace des compacts dans lui-même
pour cette distance. Il ne restera alors plus qu'à appliquer
le théorème
du point fixe.
Des systèmes dynamiques de ce type sont dits déterministes, et appelés IFS (deteministic iterated function systems). Précisons que la limite de l'IFS s'appelle "l'attracteur de l'IFS". Nous pouvons montrer que sous les conditions évoquées plus haut, cet attracteur ne dépend pas de la forme de l'objet géométrique initial.
Dans un premier temps nous
nous limiterons notre étude à
(le cas général étant donné dans le
chapitre de Topologie du site) sachant de toute façon qu'une
généralisation à l'espace euclidien de dimension
deux ne nécessite par un travail intellectuel trop grand
et que l'ensemble des complexes y est isomorphe.
Définition: Pour nous permettre
de définir les frontières de nos fonctions fractales
considérons.
Nous disons que
est le "supremum" de X et
nous notons :
(2)
si
est le plus petit des "majorants"
de X (un majorant
de X
est un nombre a qui vérifie
).
De la même façon, nous disons que
est "l'infimum" de X et nous notons :
(3)
si
est le plus grand des "minorants" de X (un
minorant de X
est un nombre a qui vérifie
).
Il existe des sous-ensembles de
qui n'ont pas de supremum (respectivement d'infimum) par exemple
( respectivement
).
(4)
si et seulement si :
(5)
ce
qui est évident car nous pouvons nous s'approcher aussi
près que l'on veut de par
des éléments de X (penser à
petit).
Pour l'information nous avons alors aussi dans la même idée:
(6)
si et seulement si :
(7)
Nous considérerons comme inuitif que si
est majoré, c'est-à-dire s'il existe
tel que
(respectivement minoré), alors X possède un
supremum (respetivement un infimum).
Nous verrons plus tard que c'est cette propriété qui
permettra de montrer que est
un "espace métrique complet"!

(8)
est
majoré mais n'a pas de supremum dans car
ce supremum se situe dans
puisque:
(9)
donc:
(10)
C'est
ce qui fait que n'est
pas "complet".
Définition: Nous disons que
est "borné" si X est majoré et minoré.
De la définition suit
immédiatement que X est borné si et seulement
s'il existe
avec
tels que
.
Définition: Nous disons qu'une suite de
est une "suite croissante" (resp. "décroissante")
si :
(resp.
)
(11)
Nous
disons que la suite est
"monotone" si elle est croissante ou décroissante.
Définition: Soit
un sous-ensemble infini de
avec
. Nous disons que la suite
est une "sous-suite" de la suite
.
Montrons maintenant que toute
suite
de
admet une sous-suite monotone (c'est un peu l'idée de fractale!).
Démonstration:
Nous disons que
est un "pic de la suite" si
.
Considérons l'ensemble P des pics de la suite
.
Si P est infini alors la sous-suite
est monotone car décroissante. Si P est fini ou vide
alors soit
(si
nous choisissons
quelconque).
n'est pas un pic, donc il existe
tel que
.
A son tour
n'est pas un pic, donc il existe
tel que
etc. Nous voyons que nous définissons ainsi une sous-suite
croissante.
C.Q.F.D.
Définition:
Nous disons que la suite
"converge" vers
et nous notons
si :
(12)
Nous disons dans ce cas que a est la "limite
de la suite" .
Par exemple dans l'exemple de la figure ci-dessous où la suite
sembler converge vers 1.13 nous observons que pour un positif
non nul particuler donné il existe un n (valant
17) à partir de laquelle la suite converge.
(13)
S'il n'existe pas de a pour lequel la relation précédente est vraie, nous disons que la suite "diverge".
Démontrons maintenant que
Toute suite croissante
(resp. décroissante) et majorée (resp. minorée)
converge.
Démonstration:
Ce théorème
est au fait assez intuitif. En effet nous nous doutons que
est la limite de cette suite. Remarquons tout d'abord que
existe car
est
majorée (cf. premier théorème).
Soit .
Il existe un
tel que
.
Mais dans ce cas vu que la suite est croissante nous avons
.
C'est-à-dire
.
Dans le cas où la suite est décroissante en procédant
de la même façon nous montrons que
est la limite de cette suite.
C.Q.F.D.
Voici le résultat important à retenir suite à tout cela : Toute suite bornée de nombres réels possède une sous-suite convergente.
C'est que les mathématiciens appelente le "théorème de Bolzano-Weierstrass" et il est extrêmement important dans de nombreux domaines des mathématiques.
Démonstration:
Soit une
telle suite. Par une proposition précédente nous
savons qu'il existe une sous-suite monotone que nous noterons
.
est
donc une suite monotone et bornée et par le théorème
précédant,
converge.
C.Q.F.D.
Rappelons que nous avons vu dans
le chapitre de Suites et Séries qu'une suite de Cauchy,
est une suite
qui vérifie (nous nous restreignons à un rappel particulier
sur la distance euclidienne) :
(14)
La différence entre deux termes d'une suite de Cauchy peut être rendue arbitrairement petite pourvu que les indices de ces termes soient assez grands.
Nous avions aussi démontré (à nouveau dans le chapitre de Suites Et Séries) que dans le cas d'une distance dans le sens topologique général que toute suite convergente est une suite de Cauchy.
Refaisons la démonstration restreinte à la distance euclidienne (la méthode est exactement la même comme le lecteur pourra le remarquer) :
Démonstration:
Soit ,
nous devons montrer qu'il existe :
(15)
Mais
tend vers a donc il existe
tel que
.
Pour
nous avons donc :
(16)
C.Q.F.D.
Montrons maintenant que toute suite de Cauchy est bornée (nous n'en avions pas parlé jusque là où que ce soit sur le site d'où la nécessité d'une démonstration).
Démonstration:
Si
est une suite de Cauchy alors en particulier pour
(choisi au hasard) nous savons qu'il existe
tel que
.
Donc si nous fixons m nous obtenons :
(17)
C.Q.F.D.
Voici à présent le théorème fondamental (c'est à ce niveau qu'il y a un impact énorme sur la compréhension de ce qu'est réellement un fractal !) de ces quelques lignes précédentes.
Nous devons démontrer que toute suite de Cauchy de nombres réels
est convergente. Nous disons alors que l'espace métrique
muni de la distance
(valeur de absolue) est un "espace complet".
R1. La propriété de complétude est liée à la métrique (dont ce théorème aurait tout aussi bien sa place dans le chapitre de topologie!): un espace peut être complet pour une distance et incomplet pour une autre. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet.
R2. Intuitivement, un espace est complet s'il n'a pas de trous.
Considérons d'abord
une suite de Cauchy. Nous avons vu que
est bornée donc par le théorème de Bolzano-Weierstrass,
il existe une sous-suite
convergente. Notons a la limite de la sous-suite
.
Nous allons montrer maintenant que la suite
est convergente de limite a.
Démonstration:
Soit ,
il existe
tel que :
(18)
Pour
ce même il
existe
tel
que :
(19)
Soit .
Choisissons
.
Nous avons donc,
et
pour
,
.
Donc par l'inégalité triangulaire, pour tout
:
(20)
Ce qui veut justement dire que
converge vers a.
C.Q.F.D.
Définition (intuitive): Un "point adhérent" est un point pour lequel nous pouvons nous approcher autant que nous voulons à l'aide d'éléments d'un ensemble X donné (nous nous en approcherons par exemple avec une suite). Cependant, ce point adhérent peut aussi bien être à l'intérieur qu'à l'extérieur de X (tous les points à l'intérieur de X sont bien évidemment des points adhérents). Un bonne image est de voir une suite qui se rapproche de ce point adhérent et de définir des cercles autour ce celui-ci qui deviennent de plus en plus petits contenant des éléments de la suite. Dès lors, vient la définition suivante :
Définition (formelle): Soit .
Nous disons que
est un "point adhérant" à X si pour toute boule
B(x,r) de rayon r centrée
en x nous avons :
(21)
L'ensemble des points adhérents
à X est "l'adhérence" de X et est noté
.
Nous avons évidemment (il suffit de se le conceptualiser
de manière abstraite pour toutes les boules possibles)
et nous admettrons comme évident que
.
Exemple:
Prenons l'intervalle ]0,1] avec la boule B(0,1). L'intersection entre la boule et l'intervalle est non nulle, nous pouvons alors dire que 0 est adhérent ! Mais maintenant prenons une suite 1/n par exemple, dans l'intervalle ]0,1]. Cette suite tend vers zéro mais pourtant 0 n'appartient pas l'intervalle. Nous pouvons faire dès lors la proposition suivante
Montrons maintenant que
est adhérent à X si et seulement si il existe
une suite
dans X qui converge vers x (attention, l'exemple
précédent
nous montre que x n'est pas nécessairement
dans X).
Démonstration:
Si est
adhérent à X alors considérons
la suite des boules concentriques
avec
tel que :
(22)
et
alors il existe toujours des éléments une
qui satisfont :
(23)
avec lesquels nous pouvons créer une suite par l'infinité des suites existantes.
Définition: Nous disons que
est un "espace fermé" si
.
Des propositions précédentes
découle le fait que dans tout fermé F, une
suite qui converge a sa limite dans F.
Nous considérerons
comme trivial que si
une famille de fermés indexée sur un ensemble I
quelconque. Alors
est fermé.
Définition:
est un "espace compact" si X est fermé et borné.
Le théorème suivant
donne une caractérisation des compacts à partir des
suites:
est compact si et seulement si toute suite
de X possède une sous-suite qui converge dans X.
Démonstration:
Si X est compact
et est
une suite de X alors par le théorème de
Bolzano-Weierstrass,
possède une sous-suite convergente de limite
.
Mais puisque X est fermé, nous avons
.
Réciproquement, supposons que toute suite
de X possède une sous-suite qui converge dans X.
Alors X est fermé car si
il
existe une suite
de X qui
tend vers x. Par hypothèse,
possède une sous-suite qui converge vers
.
étant convergente toute les sous-suites convergent vers
la même valeur, donc
(c'est
pas beau ça ?!!). Ainsi
c'est-à-dire X est
fermé. Montrons que X est borné. Supposons le contraire. Il existe donc une suite
de X telle
que
.
Mais dans ce cas, aucune sous-suite de
est
convergente, ce qui est une contradiction. Donc X est
borné. En conclusion, X est compact.
Une propriétés des compacts est que si nous considérons une
suite décroissante de compacts non-vides. C'est-à-dire
.
Alors
est
un compact non-vide. Nous nous passerons de la démonstration
qui est triviale de par la définition du concept d'ensemble
d'adhérence qui oblige qu'un compact soit par construction
non vide... !
Nous obtenons l'ensemble
C de Cantor de la manière suivante. Nous commençons
par considérer l'intervalle fermé borné
de
.
Nous partageons
en trois parties égales et nous enlevons l'intervalle du
milieu. Nous obtenons ainsi l'ensemble :
(24)
Nous
recommencons avec les deux intervalles pour
obtenir :
(25)
réunion
disjointe de quatre intervalles. Et de suite nous obtenons une
suite décroissante de
compacts. Nous définissons :
(26)
Grâce à la proposition précédente, nous savons que C est non vide et qu'il est compact ce qui montre que les compacts ne sont pas tous "triviaux" comme des intervalles. L'ensemble de Cantor est un exemple de fractale (de compact) :
(27)
Regardons pour finir comment se comportent les compacts vis-à-vis des applications continues (nous en avons besoin pour montrer comment déterminer la distance d'un point à un ensemble ce qui nous sera indispensable après pour déterminer les propriétés de la distance de Hausdorff).
Nous rappelons (cf. chapitre
d'Analyse Fonctionnelle) qu'une application
où
est quelconque, est continue en un point
si
:
(28)
Ce qui traduit le fait que pour y assez proche de x, f(y) est arbitrairement proche de f(x). Nous disons aussi que f est continue sur X si elle est continue en tout point de X.
Proposition : Soit
une application continue en
et
une suite de X avec :
(29)
Alors la suite
converge et (cette proposition est très importante!) :
(30)
Démonstration:
Soit .
f est continue en x, donc il existe
tel que :
(31)
tend
vers x donc il existe
tel
que :
(32)
Par suite pour ,
nous avons :
(33)
C.Q.F.D.
Si nous considérons maintenant
un compact et
une application continue. f(X) est compact. En
particulier sup( f ) et inf( f ) sont
atteints.
Démonstration:
f(X) est fermé.
En effet, soit une
suite qui tend vers
(nous
prenons l'adhérence au fait pour espérer montrer
qu'il est égal à l'ensemble lui-même) alors
X étant compact,
possède une sous-suite
convergente.
Posons :
(34)
f est continue, donc :
(35)
Mais comme :
(36)
nous
avons .
Ceci prouve que :
(37)
et donc que f(X) est fermé. Il reste à
montrer que f(X) est borné. Supposons le
contraire. Il existe donc une suite
telle que :
(38)
pour
tout n entier naturel (puisque justement elle est supposée
non bornée). Soit une
sous-suite convergente de
avec
:
(39)
Alors :
(40)
et par suite :
(41)
mais ceci est en contradiction avec :
(42)
Donc f(X) est borné. Donc f(X) étant fermé et borné il est compact.
C.Q.F.D.
Appliquons maintenant cela
(car c'est ce qui nous intéresse dans le cadre des espaces
fractals) au calcul de la distance d'un point à un ensemble :
Soit .
L'application
définie
par f(y)=d(x,
y) est continue.
Démonstration:
Pour tout ,
l'inégalité triangulaire nous donne :
(43)
En changeant les rôles de y,z nous obtenons :
(44)
et donc :
(45)
Ainsi
pour donné
implique
:
(46)
c'est-à-dire :
(47)
et f est continue en y.
C.Q.F.D.
Définition: Pour
et
nous définissons la distance de x à A
comme étant la valeur :
(48)
Si
alors
(trivial). La réciproque n'est pas vraie. En effet dans le
cas
nous avons bien
mais
.
Nous avons donc la proposition (importante!) :
(49)
Démonstration:
entraîne l'existence d'une suite
d'éléments de A telle
que :
(50)
ce qui veut dire :
(51)
donc (voir
développements plus hauts).
Réciproquement, si
alors pour tout
il existe
tel que
.
Mais
.
Ainsi pour tout
,
.
C'est-à-dire :
(52)
C.Q.F.D.
En général la distance de x à A
n'est pas atteinte. C'est-à-dire qu'il n'existe pas de
tel que
il suffit pour cela de considérer l'exemple
nous avons
mais pour tout
,
.
Si A est compact, la situation est bien évidemment
différente selon la proposition (la plus important pour la
distance de Hausdorff) suivante :
Si
est compact, il existe
tel que
.
Ainsi :
(53)
Démonstration:
L'application définie
par
est
continue comme déjà montré. Par conséquent
f(A)
est compact (cf. une proposition précédente).
Ainsi, f atteint ses bornes, c'est-à-dire, il existe
tel que f(a)=inf( f(A) ). Donc
:
(54)
C.Q.F.D.
ESPACE MÉTRIQUE DES FRACTALES
Les fractales sont souvent perçus par les gens comme de jolis dessins sur une feuille, mais lorsque nous voulons regarder en détail la géométrie fractale, nous avons besoin d'un espace particulier où l'étudier, un peu comme le biologiste qui met des petits vers sur une plaquette pour les observer en détail au microscope. Nous allons faire de même pour nos fractales en les plaçant dans un endroit qu'ils apprécient.
Cet endroit a de fortes chances
d'être un sous-espace de
ou
,
puisqu'en fin de compte il s'agira de produire des dessins, et pour
illustrer nos propos nous nous placerons souvent dans le cas
(avec le métrique euclidienne) et sauf mention du contraire,
nous considérerons toujours le cas où
est un espace métrique complet.
Rassemblons différentes éléments afin de pouvoir construire cet espace :
Définition: Nous définissons
comme l'espace dont les points sont les sous-ensembles compacts
de X, autres que l'ensemble. Désormais nous appellerons
"fractale" n'importe quel élément
de
.
Exemple:
Il est immédiat que
si ,
alors
,
mais
n'est pas forcément dans
.
Il suffit de voir l'exemple avec les deux ensembles compacts (fermés,
bornés donc) ci-dessous de
.
Ce sont donc deux points de
.
Leur réunion est encore un ensemble compact, et donc
:
(55)
Par
contre, si les ensembles sont disjoints (comme ici), et
par conséquent n'est pas un point de
(voir
la théorie précédente).
Source: IFS et L-Système, V. Rezzonico, C. Hebeisen
(56)
Définition: Soit
et
,
nous définissons la distance d'un point x à
l'ensemble B, et nous la notons d(x,B)
comme étant :
(57)
R1. Cette définition
est tout à fait générale et s'applique à
n'importe quel sous-ensemble non vide de X, en remplaçant
min par inf. Mais dans le cas particulier, nous somme intéressés
à prendre précisément
comme sous-espace.
R2. Cette distance est bien définie (elle existe) du fait que B est non-vide et compact.
R3. Il est trivial de voir que si cette distance est nulle, alors
.
Exemple:
Illustration dans le cas où
Source: IFS et L-Système, V.
Rezzonico, C. Hebeisen
(58)
Définition: Soient .
Nous définissons la distance de A à B
et nous la notons
comme étant :
(59)
R1. Comme avant, cette définition
a un sens, et en particulier il existe deux points
tel que
.
R2. Nous constatons que cette distance ne fournit pas de métrique
: en effet,
en général (prendre par exemple le cas où
avec
,
nous aurons alors d(A,B)=0 mais
).
Définition: Soient
.
Nous définissons la "distance de
Hausdorff" entre deux ensembles
,
et nous la notons
,
comme étant :
(60)
Cette fois ci, de par cette
dernière définition, nous avons bien une métrique
sur .
En effet, vérifions que les 5 propriétés
d'une distance soient vérifiées (cf.
chapitre de Topologie) : soit
.
Clairement nous avons sans démonstration (symétrie,
nullité sur la diagonale et séparation) :
(61)
De plus, comme A et
B sont compacts,
(cf. une des propositions précédentes) pour un certain
et un certain
.
Or, puisque
par définition nous avons (propriété positivité)
et finalement
tel que
:
(62)
puisque B est fermé.
Enfin, puisque
(cf. extension d'une des propositions précédentes),
l'inégalité triangulaire est alors forcément
respectée et alors :
(63)
Donc h est bien une
métrique sur ,
ce qui fait de
un espace métrique. C'est déjà un premier pas
dans la direction souhaitée : nous avons désormais
les moyens de comparer deux ensembles appartenant à
par la distance de Hausdorff qui les sépare. Si les deux
ne sont pas "trop différents", alors intuitivement cette
distance devrait être assez petite.
IMAGES FRACTALES
Plusieurs méthodes ont été proposées pour construire des images fractales, nous nous intéresserons aux méthodes dites "méthodes d'échappement" :
On se place dans le plan complexe formé des points M de
coordonnées (x, y) d'affixe où
i représente le nombre complexe tel que
.
On considère une suite complexe définie par et
,
f étant une fonction continue complexe. On suppose
que f à un point fixe
,
c'est-à-dire qu'il existe
tel
que
(il
s'agit du "théorème du point fixe" démontré dans la section
d'algèbre du site au chapitre sur les suites et séries). Sous certaines
conditions sur f et sur
,
on constate que la suite des points ne divergent pas. Cette méthode
est à la base de la construction des ensembles de Mandelbrot et
de Julia.
Construire une image fractale à partir d'un ensemble de suites ainsi définies, revient à étudier pour chaque couple (x, y) du plan le comportement de la suite. On associe alors une couleur à chaque suite (c'est-à-dire à chaque couple (x, y)) représentant la "rapidité" de divergence de la suite.
Pour étudier la convergence d'une suite, on regarde ses n premiers éléments, si on détecte que les conditions de divergence sont vérifiées alors on peut dire que cette suite diverge, sinon, cette suite est potentiellement convergente. On remarque que plus n est grand plus les résultats seront précis (mais plus le temps de calcul sera grand).
L'algorithme de base est le suivant:
Fractal=proc(x,y)
z:= valeur de z0;
j:=nombre max itérations
Tant que condition_de_divergence non vérifiée(z) et j non
atteint faire
z:=formule_iteration(z)
changer de couleur;
Fin Tant que
Renvoyer couleur finale
Fin Fractal
ENSEMBLE DE MANDELBROT
On construit l'ensemble de Mandelbrot grâce à des itérations dans le plan complexe. La fonction est de la forme:
(64)
où
c est un paramètre constant tel que .
Le premier terme de la suite est nul. On a donc la suite U
définie par:
et
(65)
Pourquoi
commence-t-on avec ?:
Car zéro est le point critique de
,
c'est-à-dire le point qui satisfait à l'extremum:
(66)
Pour chaque point d'affixe x+iy du plan,
on étudie la suite U pour .
Si la suite diverge, on dit que le point testé n'appartient pas
à l'ensemble M, si la suite converge, on dit que le point
appartient à M.
Pour reproduire l'ensemble de Mandelbrot, on associe à c des valeurs du plan complexe. On considère généralement la portion du plan complexe ayant comme partie réelle, les valeurs entre -2.5 et 1.5 et comme partie imaginaire, les valeurs entre -1.5 et 1.5. Cette portion du plan complexe est subdivisée de façon à former une grille dont les éléments seront associés à des valeurs de C. Pour chaque valeur de C, on obtient une suite dont les modules peuvent converger ou diverger. En pratique, on considère que la suite des modules converge si les 30 premiers modules sont inférieurs à 2. Lorsque la suite des modules converge, on colorie en noir le point de la grille. Après avoir considéré tous les points de la grille, on obtient un ensemble de points noircis: "l'ensemble de Mandelbrot" noté M. Ce qui constitue un résultat remarquablement curieux!
(67)
La liste des générés
par l'itération s'appelle "l'orbite" de
.
On peut colorer les points à l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot en utilisant des couleurs qui dépendent du nombre de termes calculés avant d'obtenir un module supérieur ou égal à 2. Les points d'une même couleur peuvent être interprétés comme étant des points s'éloignant à la même vitesse de l'ensemble de Mandelbrot.
On peut aussi faire une incursion dans l'ensemble de Mandelbrot en utilisant MapleV (disponible habituellement au collège). Il suffit de copier le programme ci-dessous sur une feuille de travail du logiciel et d'indiquer à la place de -2 .. 1, -1.5 .. 1.5 de la dernière ligne, l'étendue des parties réelles et imaginaires de c que l'on désire visualiser:
restart: with(plots):
couleur:=proc(a,b)
local x,y,xi,yi,n;
x:=a;
y:=b;
for n from 0 to 30 while evalf(x^2+y^2) < 4 do;
xi:=evalf(x^2-y^2+a);
yi:=evalf(2*x*y+b);
x:=xi;
y:=yi;
od;
n
end:
plot3d(0,-2..1,-1.5..1.5,orientation=[-90,0],style=patchnogrid, scaling=constrained,axes=framed,numpoints=20000,color=couleur);
Vous obtiendrez dès lors le résultat ci-dessous:
(68)
ENSEMBLES DE JULIA
L'ensemble de Julia se construit presque de la même façon que l'ensemble
de Mandelbrot. Dans l'ensemble de Mandelbrot, c balaye le
plan. Pour l'ensemble de Julia, c est fixé pendant tout le
calcul de l'image. A chaque c correspond donc un ensemble
particulier que l'on notera J(c). Ce qui varie,
c'est ,
qui prend la valeur du point à tester. C'est donc
qui
balaie le plan.
Le point A de coordonnées (x, y) et d'affixe x+iy appartient à J(c) si et seulement si la suite définie par:
et
(69)
converge.
En fait, l'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des points c tels que l'ensemble de Julia de paramètre c soit connexe. Si à nouveau on développe l'algorithme, on obtient à un facteur d'échelle près donné, le fractal représenté ci-dessous obentu grâche au petit programme Maple V ci-dessous similaire à celui de Mandelbrot :
restart; with(plots):
julia := proc(c,x, y)local z, m;
z := evalf(x+y*I);
for m from 0 to 30 while abs(z) < 3 do
z := z^2 + c
od;
m
end:
J := proc(d)
global phonyvar;
phonyvar := d;
(x, y) -> julia(phonyvar, x, y)
end:
plot3d(0, -2 .. 2, -1.3 ..1.3, style=patchnogrid,orientation=[-90,0], grid=[270, 270],scaling=constrained, color=J(-1.25));
(70)
ENSEMBLES DE NEWTON
Les ensembles de Newton sont ainsi appelés car ils découlent de la résolution de problème de la recherche des zéros d'une fonction par la méthode de Newton.
Soit
une fonction f à
valeur dans ,
et dérivable dans
,
on prend
dans
tel
que:
(71)
Il y a alors deux manières de procéder:
1. Soit nous nous intéressons à et
alors nous faisons comme précédemment
2. Soit nous nous demandons
vers quel zéro
la
suite converge et nous nous intéressons à
Si à nouveau nous développons l'algorithme, nous obtenons à un facteur d'échelle près donné, le fractal représenté ci-dessous obtenu à nouveau avec Maple :
restart:
newton := proc(x, y)
local z, m;
z := evalf(x+y*I);
for m from 0 to 50 while abs(z^3-1) >= 0.001 do
z := z - (z^3-1)/(3*z^2)
od;
m
end:
plot3d(0, -2 .. 2, -1.5 .. 1.5, orientation=[-90,0],grid=[250, 250], style=patchnogrid, scaling=constrained,color=newton);
(72)